Teleportation quantique

lundi 21 mai 2018.


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L’objectif est de recréer à une distance non limitée l’état quantique d’une particule, par exemple le spin d’un electron.L’electron lui même n’est pas "téléporté" mais son état de spin, recréé sur un autre electron rend ce nouvel electron indistinguable de l’electron d’origine.

L’état de l’electron est encodé dans le qbit b1(quantum bit, pour un rappel des definitions et les différentes portes quantiques, voir l’Annexe).

Une source génère un couple de qbits intriqués, b2 et b3.

Alice et Bob récupèrent chacun leur qbit.

On notera que Bob peut être éloigné d’Alice de plusieurs milliers de kilomètres ( une experience d’intrication par liaison satellite a été réalisée avec succès durant l’été 2017 ).

Vue d’ensemble de l’operation

-  Alice intrique b1 et son qbit b2.

b2 et b3 étant déjà intriqués, ceci revient à intriquer indirectement b1 avec b3

-  Alice effectue ensuite une mesure partielle (mesure de Bell) sur l’état obtenu.

Cette mesure fournit l’une des 4 valeurs : 00, 01, 10 ou 11 et laisse b3 dans un état résiduel proche de l’état b1, et ce instantanément.

-  Alice communique à Bob la valeur obtenue par un canal habituel ( vitesse inférieure à la lumière)

-  Bob, en fonction de cette valeur applique (ou non) un traitement local à son qbit b3

-  Le qbit b3 est alors identique à b1

On note que b1 détruit dans l’opération n’a donc pas été cloné, le clonage de qbit étant interdit en théorie quantique

Description qualitative

L’evolution des 3 qbits dans le temps s’effectue de gauche à droite.

Les portes quantiques utilisées sont

-  H porte Hadamard qui crée un état superposé en partant d’un état de base

-  C-NOT, intéressant deux qbits, elle génère leur intrication.

-  Porte de mesure (mauve) qui projette le qbit sur un bit classique, 0 ou 1

-  Portes Z et X, qui seront détaillées ci après

Conventions d’écriture : dans toute la suite pour alléger les notations, on ne tiendra pas compte de coefficients numériques comme racine(2) par exemple.

De même, on notera 0 et 1 au lieu des kets |0> et |1> utilisés habituellement.

Exemple : (010) représentera b1=|0>, b2 = |1>, b3 = |0>, l’ordre 1,2,3 étant systématiquement respecté.

Zone Z1- Z2

Ces zones correspondent à la Source de qbits intriqués schématisée plus haut.

Partant de l’état 0 pour b2 et b3, H crée l’état superposé

(0 + 1) pour b2,

puis avec la porte C-NOT, intrique les qbits en générant l’état

(00) + (11)

b2 b3 ont perdu leur individualité, seul un état commun (00) ou (11) est autorisé

Zone Z3

Alice intrique le qbit b1 ( quelconque, à téléporter, sa valeur peut très bien être inconnue d’Alice) avec b2 au moyen d’une porte C-NOT.

A ce stade, les 3 qbits étant intriqués, on conçoit que l’état de b1 puisse être en quelque sorte indirectement intégré avec b3.

Zone Z4

Alice applique à b1 une porte Hadamard qui permet de regrouper ( factoriser) les états des qbits b1 et b2

Zone Z5

Alice mesure b1 et b0 obtenant une valeur sur 2 bits parmi les 4 possibles et équiprobables : 00, 01, 10 ,11.

Par voie classique (telephone, email...) elle transmet ce resultat à Bob qui applique alors à b3 une transformation adequate pour finaliser la teleportation de b3.

b3 est devenu identique à b1.

Description quantitative

-  en Z1

L’état E du système est le produit des 3 qbits

E = b1b2b3 = (c0 + d1)(0)(0)

-  en Z2

b2 est devenu (0 + 1)

E = (c0 + d1)(0 + 1)(0)

-  en Z3

b2 et b3 sont intriqués

E = (c0 + d1)(00 +11)

On développe, toujours en respectant l’ordre des qbits : 1,2 et 3

E = c(000) + c(011) + d(100) + d(111)

-  en Z4

Via la porte C-NOT, le bit b1 modifie b2 selon la règle :

Si b1=0, b2 inchangé, mais si b1=1, b2 est inversé

E = c(000) + c(011) + d(110) +d(101)

-  en Z5

H change b1 = 0 en (0 + 1), et b1 = 1 en (0 - 1)

E = c(000 + 100) + c(011 + 111) + d(010 - 110) + d(001 - 101)

On regroupe (factorise) b1 et b2

****E = [ 00(c0 + d1) + 01(c1 + d0) +10(c0 - d1)+ 11(c1 - d0) ]***

Alice mesure alors b1 et b2, cette mesure partielle préservant l’état résiduel de b3.

Les 4 cas possibles

Bob doit maintenant finaliser la teleportation selon la valeurs des 2 bits mesurés par Alice.

-  00

On voit dans l’expression de E ci dessus que l’état résiduel est b3 = (c0 + d1), identique à b1, Bob n’a rien à faire.

-  01

L’état résiduel est b3 = (c1 + d0).

Pour régénérer b1, Bob doit interchanger les coefficients de 0 et 1.

Ceci s’effectue au moyen d’une porte X.

-  10

L’état résiduel est b3 = (c0 - d1).

Pour régénérer b1, Bob doit inverser le signe de 1.

Ceci s’effectue au moyen d’une porte Z.

-  11

L’état résiduel est b3 = (c1 - d0).

Pour régénérer b1, Bob doit à la fois inverser le signe de 1 et interchanger les coefficients de 0 et 1.

Ceci s’effectue en appliquant les portes Z puis X.

Conclusion

La théorie prédit, et l’experience vérifie qu’un qbit dans un état quelconque peut être répliqué à distance sous resrve que

-  le qbit original soit détruit

-  la vitesse de l’operation soit inférieure ou égale à celle de la lumière

Une application fascinante est la possibilité de transmettre une direction quelconque de polarisation EXACTEMENT identique.

Par des moyens classiques, on ne pourrait transmettre que des coordonnées sous forme de chiffres, donc forcément limitées en precision...

Annexe

Quelques rappels sur les notions de base :

Le qubit se compose d’une superposition de deux états de base, par convention nommés |0> et |1> (prononcés : ket 0 et ket 1 ).

Un bit classique se trouve toujours soit dans l’état |0>, soit dans l’état |1> .

Dans le cas général, un qubit se trouve dans une superposition de ces deux états, que l’on peut décrire par une combinaison linéaire des deux états :b = c|0> + d|1> .

Les coefficients c et d sont deux nombres complexes dont la somme des carrée des modules doit être égale à 1.

En se limitant au cas de nombres réel, c et d doivent vérifier c² + d² = 1.

-  Porte H (Hadamard)

Elle transforme l’ état |0> en un état superposé (|0> + |1>), et l’état |1> en (|0> - |1>)

-  Porte C-NOT

-  Porte de mesure

Elle projette le qbit vers un bit classique 0 ou 1.

Si b1 = c|0> + d|1>, avec c et d réels, la probabilité de trouver 0 est égale à c², et la probabilité de trouver 1 est égale à d²

-  Porte X

Elle échange les coefficients de |0> et |1>,

(c|0> + d|1>) devient (d|0> + c|1>)

-  Porte Z

Elle inverse le signe de |1>,

(c|0> + d|1>) devient (c|0> - d|1>)

References

-  Qubit https://fr.wikipedia.org/wiki/Qubit

-  "Einstein aujourd’hui" A.Aspect et Ph. Grangier pp76, CNRS editions, EDP Sciences

-  "Quantum Gates https://en.wikipedia.org/wiki/Quant...

-  "Mind, machines and the multiverse" Julian Brown, Simon & Schuster. Une presentation très claire du calcul quantique.

-  Site sympathique pour une entrée en matière

https://www.institut-pandore.com/ph...

Enfin IBM donne accès via ce site https://quantumexperience.ng.bluemi...

à leur processeur à 5 qbits et à un simulateur de calcul quantique.


 



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